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15.(0,2/3]【解析】f(x)=√1+2 sin cOs 2 √1+|sin wx|=1+-cos 2wx ,令 2kx≤2wx≤(2k+1)π,k∈z,所以竺<<(2k+1)π,k∈ Zw Z,
所以只需 ,k∈Z,解得 3k≤ω< 2ω(2k+1)*>3x3k<s 234k+2,kez,则34k+2>o,k∈z,解得-2<k<3
又因为kez,所以k=0,所以0<ω<一,即ω的取值范围是(0,2/3].
16.(o.一2]【解析】若函数 f(x)=ax'-3e'+2 023(aER)有且仅有一个极值点,只需f(x)=3ax-3e有一个零点,且在此零点两侧,函数f(x)=3ax2-3e符号不同.当a≤0时，f(x)<0,所以
f(x)在R上单调递减,函数无极值点,所以a>0,令∫'(x)=0,则e'=ax,即---.记h(x)=一,则h'(x)=x(2-x),令h(x)>0,得0<x<2,令h'(x)<0,得x<0或x>2,所以h(x)在(一∞,0)上
单调递减,在(0,2)上单调递增,在(2,十∞)上单调递减,当x→一∞时,h(x)→+∞;当x→+∞时，
h(x)→0,且h(x)>0,又h(0)=0,h(2)=-,故h(x)的大致图象如下图所示:
由图可知若 f(x)有且仅有一个极值点,则一>-得 o<a<一.故a的取值范围为(0,2].
三、解答题
17.解:(1)因为2sin Asin Ccos B+cos B=3sinB-cos(A-C),
所以2sin Asin Ccos B-3sinB=cos(A+C)一cos(A-C),
所以2sinAsin CcosB-3sinB=-2sin Asin C，(2分)
由正弦定理和余弦定理得2ac·a²+c2-b -362=2ac-2ac， (4分)
整理得a2+c+2ac=4b2，
即(a+c)²=4b.
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